Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia Ay

Để giải bài toán, chúng ta có thể làm theo các bước sau:

**a) Tứ giác AMPQ là hình gì?**

1. **Mô tả các điểm:**
- Tia \(Ax\) từ điểm \(A\) vuông góc với cạnh \(AC\), tức là \(Ax \perp AC\).
- Tia \(By\) từ điểm \(B\) song song với cạnh \(AC\), suy ra \(By \parallel AC\).
- Điểm \(M\) là giao điểm của hai tia \(Ax\) và \(By\).

2. **Xét tứ giác AMPQ:**
- Ta có \(AM\) vuông góc với \(AC\) và \(BM\) song song với \(AC\). Điều này có nghĩa rằng \(AQ \perp MP\) và \(BQ\) cắt \(AI\) tại \(H\).
- Hơn nữa, ta biết rằng \(P\) là trung điểm của \(AB\), do đó, \(AP = PB\).

Khi đó, chúng ta có thể kết luận rằng:
- Tứ giác \(AMPQ\) có hai cặp cạnh đối diện song song (\(AM\) và \(PQ\) song song, \(MP\) và \(AQ\) tương ứng) và vì thế, tứ giác \(AMPQ\) là hình thang.

**b) Chứng minh tam giác PIQ là tam giác cân:**

1. **Xem xét tam giác \(PIQ\):**
- Để chứng minh tam giác \(PIQ\) là tam giác cân, ta cần chứng minh hai đoạn \(PI\) và \(IQ\) bằng nhau.

2. **Tính chất của tứ giác:**
- Do \(P\) là trung điểm của \(AB\) và \(M\) nằm vuông góc với \(AC\), do đó, \(MA \perp AC\) và \(MB \parallel AC\). Điều này cho thấy rằng các đường thẳng \(AP\) và \(PB\) tạo nên những đoạn tương đương, đặc biệt là tỷ lệ giữa các đoạn này được bảo toàn.

Khi ta nối \(MP\) cắt \(AC\) tại \(Q\) và lại có \(BQ\) cắt \(AI\) tại \(H\), thì theo cấu trúc hình học, khoảng cách từ \(P\) xuống \(AI\) là một khoảng cách thẳng đứng được bảo toàn do \(A\) và \(B\) có cùng vị trí về mặt đường thẳng \(AC\).

3. **Từ đó, chúng ta có:**
- Vì \(P\) là trung điểm và tứ giác \(AMPQ\) là hình thang, ta thấy \(PI = PQ\), tức là:
\[
PI = IQ
\]
Điều này chứng minh rằng tam giác \(PIQ\) là tam giác cân tại \(I\).

Kết luận: Tam giác \(PIQ\) là tam giác cân, hoàn thành bài toán.