Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Biết AB = 18 cm, AC = 24 cm. Chứng minh: \(AB^2 = BH \cdot BC\)

Để chứng minh \(AB^2 = BH \cdot BC\) trong tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là đỉnh vuông và đường cao \(AH\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi độ dài các cạnh:** Ta có \(AB = 18\) cm, \(AC = 24\) cm. Để tính \(BC\), sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900.
\]
Do đó, \(BC = \sqrt{900} = 30\) cm.

2. **Tính diện tích tam giác:** Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) có thể tính bằng hai công thức:
- Công thức dựa vào chiều cao:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216 \text{ cm}^2.
\]
- Công thức dựa vào đường cao:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH.
\]
Từ đó, ta có:
\[
216 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot AH \Rightarrow 216 = 15 \cdot AH \Rightarrow AH = \frac{216}{15} = 14.4 \text{ cm}.
\]

3. **Áp dụng định lý đường cao:** Trong tam giác vuông, theo định lý về đường cao, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC.
\]
Gọi \(BH = x\) và \(HC = BC - BH = 30 - x\), ta có:
\[
AH^2 = x \cdot (30 - x).
\]
Thay \(AH = 14.4\) vào công thức trên:
\[
14.4^2 = x \cdot (30 - x) \Rightarrow 207.36 = x(30 - x).
\]

4. **Phát triển và hình thành phương trình bậc 2:**
\[
207.36 = 30x - x^2 \Rightarrow x^2 - 30x + 207.36 = 0.
\]

5. **Giải phương trình:** Tính discriminant \(D\):
\[
D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 207.36 = 900 - 829.44 = 70.56.
\]

Phương trình có hai nghiệm:
\[
x_1 = \frac{30 + \sqrt{70.56}}{2}, \quad x_2 = \frac{30 - \sqrt{70.56}}{2}.
\]

6. **Chứng minh công thức cần chứng minh:**
Cuối cùng, từ trong tam giác \(ABC\) và \(AH\), ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow 18^2 = 14.4^2 + BH^2 \Rightarrow 324 = 207.36 + BH^2.
\]
Từ đó, ta có:
\[
BH^2 = 324 - 207.36 = 116.64.
\]

Vậy cần hoàn tất chứng minh rằng \(AB^2 = BH \cdot BC\):
\[
AB^2 = BH \cdot BC \quad \text{hoặc} \quad 324 = x \cdot 30 \implies x = \frac{324}{30} = 10.8.
\]

Do đó, ta có thể kết thúc chứng minh rằng \(AB^2 = BH \cdot BC\).