Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x - y = 1 \quad (1) \\
3x + y = 4 \quad (2)
\end{cases}
\]

Ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ở đây, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số để loại bỏ \(y\).

Bước 1: Cộng hai phương trình lại với nhau.

Từ (1), ta có:
\[
y = 2x - 1
\]

Thay \(y\) vào phương trình (2):
\[
3x + (2x - 1) = 4
\]

Bước 2: Giải phương trình vừa tìm được:
\[
3x + 2x - 1 = 4 \\
5x - 1 = 4 \\
5x = 5 \\
x = 1
\]

Bước 3: Thay giá trị \(x\) vào phương trình (1) để tìm \(y\):
\[
2(1) - y = 1 \\
2 - y = 1 \\
-y = 1 - 2 \\
-y = -1 \\
y = 1
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (1, 1)
\]

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách thay \(x = 1\) và \(y = 1\) vào cả hai phương trình ban đầu.

Phương trình (1):
\[
2(1) - 1 = 1 \quad \text{(Đúng)}
\]

Phương trình (2):
\[
3(1) + 1 = 4 \quad \text{(Đúng)}
\]

Vì vậy, nghiệm của hệ phương trình là:
\[
\boxed{(1, 1)}
\]