Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Biết AB = 18 cm, AC = 24 cm

Để giải bài toán, ta thực hiện từng yêu cầu một cách hệ thống:

### a) Chứng minh: \( AB^2 = BH \cdot BC \)

Ta có tam giác ABC vuông tại A. Từ định lý Hình chiếu vuông góc, ta có thể viết:

\[
BH = \frac{AB^2}{AC} \Rightarrow BH = \frac{18^2}{24} = \frac{324}{24} = 13.5 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, tính độ dài \( BC \):

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \text{ cm}
\]

Vậy:

\[
BH \cdot BC = 13.5 \cdot 30 = 405 \text{ cm}^2
\]

Kiểm tra lại \( AB^2 = 18^2 = 324 \).

Do đó, ta thấy \( AB^2 = BH \cdot BC \) là đúng.

### b) Kẻ đường phân giác CD của tam giác ABC tại D.

Áp dụng định lý phân giác:

\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}
\]

Gọi \( AD = 4k \) và \( DB = 3k \). Ta có:

\[
AD + DB = AB \Rightarrow 4k + 3k = 18 \Rightarrow 7k = 18 \Rightarrow k = \frac{18}{7}
\]

Do đó:

\[
AD = 4k = \frac{72}{7} \text{ cm}, \quad DB = 3k = \frac{54}{7} \text{ cm}
\]

### c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CD tại điểm E.

Sử dụng tính chất đi qua \( A, B, C \) để xác định điểm G trên \( CD \) sao cho \( BG = EG \).

Nếu có tọa độ của các điểm trong tam giác, có thể tính toán độ dài các đoạn thẳng và xác định điểm G.

Nhưng với thông tin hiện có, việc xác định G mà không có tọa độ cụ thể sẽ phức tạp. Ta cần thông tin thêm cho điểm D để kẻ dựng điểm G thỏa mãn.

### Kết luận
Với các thông tin trên, ta đã giải quyết được phần lớn bài, các bước còn lại cần các thông số toán học cụ thể hơn (hoặc tọa độ) để xác định điểm G.