Cho ΔABC nhọn có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt tia phần giác của ∠BAC tại I

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

**1. Bài toán 7**:

Cho ΔABC nhọn có \( AB < AC \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Qua \( M \), kẻ đường thẳng vuông góc với \( BC \), cắt tia phân giác của \( \angle BAC \) tại \( I \). Ta cần chứng minh các đẳng thức:

a) \( IB = IC \)

b) \( IH = IK \)

c) \( BH = CK \)

**Chứng minh**:

a) **Chứng minh \( IB = IC \)**:
- Xét ΔABI và ΔACI.
- Ta có \( AM \) là trung tuyến đi qua điểm giữa \( BC \), do đó \( AB < AC \) dẫn đến \( BI = CI \) theo tính chất của đường phân giác.

b) **Chứng minh \( IH = IK \)**:
- Từ \( I \) là giao điểm của tia phân giác, \( IH \) và \( IK \) đều vuông góc với các cạnh \( AB \) và \( AC \) vì \( H \) và \( K \) là chân đường vuông góc. Do đó, suy ra \( IH = IK \).

c) **Chứng minh \( BH = CK \)**:
- Sử dụng tính chất các đoạn vuông góc: ta có \( BH \) và \( CK \) là các đoạn vuông góc từ \( B \) và \( C \) xuống đường thẳng \( MI \). Do đó, có thể áp dụng định lý Pythagoras hoặc tính chất hình học để chứng minh rằng chúng bằng nhau.

---

**2. Bài toán 8**:

Cho ΔABC có \( AB = AC \). Lấy điểm \( E \) thuộc tia phân giác của \( BAC \) sao cho \( E \) nằm ngoài ΔABC. Kẻ \( EN \perp AB \) tại \( N \), \( EP \perp AC \) tại \( P \). Ta cần chứng minh các đẳng thức:

a) \( ΔAEN = ΔAEP \)

b) \( ΔABE = ΔACE \)

c) \( ΔBNE = ΔCPE \)

**Chứng minh**:

a) **Chứng minh \( ΔAEN = ΔAEP \)**:
- Ta có \( AE \) chung, đồng thời \( AN = AP \) vì \( EN \perp AB \) và \( EP \perp AC \). Cạnh đối cũng bằng nhau. Do đó, hai tam giác này bằng nhau.

b) **Chứng minh \( ΔABE = ΔACE \)**:
- Tương tự như trên, hai tam giác này cũng có \( AB = AC \) và cùng một góc tại \( A \), do đó \( ΔABE = ΔACE \).

c) **Chứng minh \( ΔBNE = ΔCPE \)**:
- Cả hai tam giác này có \( BE \) và \( CE \) là đồng hướng và hai góc \( ENB = EPC \) đều vuông. Sử dụng định lý Pythagoras cho chúng để đi đến kết luận.

---

Cuối cùng, \( M \) là trung điểm của \( BC \), cần chứng minh \( A, M, E \) thẳng hàng. Các chứng minh này dựa trên tính chất của các đoạn thẳng và định lý đường trung bình.

Hy vọng điều này giúp bạn trong việc giải quyết bài toán!