Để tìm diện tích lớn nhất của cánh đồng hình chữ nhật tiếp giáp với con sông mà không cần rào phía giáp sông, ta có thể làm như sau:

1. **Đặt biến**: Gọi chiều dài của cánh đồng (tiếp giáp với con sông) là \( x \) và chiều rộng là \( y \).

2. **Thể hiện điều kiện rào**: Do ống nông dân có 240 m hàng rào, ta có phương trình:
\[
x + 2y = 240
\]
(vì không cần rào phía giáp sông).

3. **Biểu thức diện tích**: Diện tích \( S \) của cánh đồng sẽ là:
\[
S = x \cdot y
\]
Từ phương trình trước, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = \frac{240 - x}{2}
\]
Thay vào công thức diện tích:
\[
S = x \cdot \frac{240 - x}{2} = \frac{240x - x^2}{2} = 120x - \frac{x^2}{2}
\]

4. **Tối ưu hóa diện tích**: Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích, ta cần lập đạo hàm và tìm điểm cực trị:
\[
\frac{dS}{dx} = 120 - x
\]
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm \( x \):
\[
120 - x = 0 \Rightarrow x = 120
\]

5. **Tìm giá trị \( y \)**: Khi \( x = 120 \):
\[
y = \frac{240 - 120}{2} = 60
\]

6. **Diện tích lớn nhất**:
\[
S = 120 \cdot 60 = 7200 \text{ m}^2
\]

**Kết luận**: Diện tích lớn nhất mà ống nông dân có thể rào được là 7200 m².