Cho tam giác ABC có \( A = 90^\circ \), \( AB = AC \). Qua A vẽ đường thẳng d cắt đường thẳng BC tại điểm M sao cho hai điểm B, C nằm cùng phía đối với M. Vẽ hai đoạn thẳng BD và CE vuông góc với d ( \( D \in d \), \( E \in d \) ). Chứng minh rằng \( BD = AE, AD = CE \)

Để chứng minh rằng \( BD = AE \) và \( AD = CE \), ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Thiết lập các điểm và tam giác**: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với \( AB = AC \). Vẽ đường thẳng \( d \) qua \( A \) cắt \( BC \) tại điểm \( M \). Vẽ đoạn thẳng \( BD \) và \( CE \ vuông góc với d \) (với \( D \in d \) và \( E \in d \)).

2. **Sử dụng tính chất của tam giác**: Do \( AB = AC \) nên tam giác \( ABC \) là tam giác isosceles. Điều này nghĩa là góc \( ABC = ACB \).

3. **Xét tam giác vuông**: Ta có:
- \( \triangle ABD \) vuông tại \( D \).
- \( \triangle ACE \) vuông tại \( E \).

4. **Dùng định lý Pitago**: Áp dụng định lý Pitago cho cả hai tam giác:
- Với \( \triangle ABD \):
\[
AB^2 = AD^2 + BD^2
\]
- Với \( \triangle ACE \):
\[
AC^2 = AE^2 + CE^2
\]
Vì \( AB = AC \), ta có:
\[
AD^2 + BD^2 = AE^2 + CE^2
\]

5. **Xét sự đồng dạng**: Vì \( BD \) vuông góc với \( d \) và cũng vuông góc với \( CE \) nên ta nhận thấy \( BD = CE \).

6. **Rút ra kết luận**:
- Từ hai phương trình trên, ta có thể kết luận \( BD = AE \) và \( AD = CE \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( BD = AE \) và \( AD = CE \).