Cho △ABC nhọn. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH chứa điểm B, vẽ AD ⊥ AB sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại, vẽ AE ⊥ AC sao cho AE = AC. Kẻ DK ⊥ AH tại K, EM ⊥ AH tại M

Để chứng minh bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( DK = EM \)

1. **Cấu hình hình học**:
- Gọi \( O \) là giao điểm của \( AH \) với \( BC \).
- Ta có \( AD \perp AB \) và \( AE \perp AC \) với \( AD = AB \) và \( AE = AC \) do đó \( \triangle ABD \) và \( \triangle AEC \) là hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau.

2. **Sử dụng tính chất hình vuông**:
- Vì \( AD = AB \), \( AE = AC \), nên ta có \( \triangle ABD \sim \triangle AEC \).
- Do đó, \( \angle ADB = \angle AEC = 90^\circ \).

3. **Khẳng định độ dài**:
- Từ \( AH \) kẻ DK và EM vuông góc với \( AH \), ta có \( DK \) và \( EM \) là các đường vuông góc từ D và E xuống AH.
- Vì \( AD = AB \) và \( AE = AC \), trong tam giác vuông \( ABD \) và \( AEC \), ta có chiều cao từ A đến BC cũng như từ D và E xuống AH sẽ bằng nhau:

\[
DK = EM
\]

### b) Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( DE \)

1. **Gọi điểm**:
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( AH \) và \( DE \).

2. **Tính đối xứng**:
- Vì \( DK = EM \) và hai đoạn DK, EM đều vuông góc với AH, suy ra điểm I sẽ nằm ở giữa của đoạn DE.

3. **Kiểm tra đặc tính trung điểm**:
- Ta có tam giác ABD và AEC là hai tam giác vuông và có cạnh lệch của chúng đối xứng nhau qua AH.
- Do đó, điểm I vừa là giao điểm của \( AH \) và \( DE \) và cũng là trung điểm của \( DE \).

Vì vậy, ta kết luận rằng \( I \) chính là trung điểm của đoạn \( DE \).