Tìm các số nguyên x, y biết 54x+55y=2025 và 1/3 < x/y < 2/5

Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) sao cho \( 54x + 55y = 2025 \) và \( \frac{1}{3} < \frac{x}{y} < \frac{2}{5} \), ta có thể làm theo các bước sau:

### Bước 1: Giải phương trình
Ta có phương trình:
\[ 54x + 55y = 2025 \]
Chúng ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[ 55y = 2025 - 54x \]
\[ y = \frac{2025 - 54x}{55} \]

### Bước 2: Thay vào bất phương trình
Ta cần thỏa mãn điều kiện:
\[ \frac{1}{3} < \frac{x}{y} < \frac{2}{5} \]

Thay \( y \) vào các bất phương trình:
1. Với \( \frac{x}{y} > \frac{1}{3} \):
\[
x > \frac{1}{3}y = \frac{1}{3} \cdot \frac{2025 - 54x}{55}
\]
Nhân 3 và 55 để tránh phân số:
\[
3 \cdot 55x > 2025 - 54x
\]
\[
165x + 54x > 2025
\]
\[
219x > 2025 \Rightarrow x > \frac{2025}{219} \approx 9.23
\]
Hay \( x \geq 10 \).

2. Với \( \frac{x}{y} < \frac{2}{5} \):
\[
x < \frac{2}{5}y = \frac{2}{5} \cdot \frac{2025 - 54x}{55}
\]
Nhân 5 và 2 để tránh phân số:
\[
5 \cdot 2x < 2025 - 54x
\]
\[
10x + 54x < 2025
\]
\[
64x < 2025 \Rightarrow x < \frac{2025}{64} \approx 31.64
\]
Hay \( x \leq 31 \).

### Bước 3: Lập bảng và thử nghiệm
Ta sẽ thử các giá trị của \( x \) từ 10 đến 31 và tính \( y \) tương ứng.

- Với \( x = 10 \):
\[
y = \frac{2025 - 54 \cdot 10}{55} = \frac{2025 - 540}{55} = \frac{1485}{55} = 27
\]
\( \frac{x}{y} = \frac{10}{27} \approx 0.370 < 0.4 \) (Thỏa mãn)

- Với \( x = 11 \):
\[
y = \frac{2025 - 54 \cdot 11}{55} = \frac{2025 - 594}{55} = \frac{1431}{55} = 26
\]
\( \frac{x}{y} = \frac{11}{26} \approx 0.423 > 0.4 \) (Không thỏa mãn)

- Với \( x = 12 \):
\[
y = \frac{2025 - 54 \cdot 12}{55} = \frac{2025 - 648}{55} = \frac{1377}{55} = 25
\]
\( \frac{x}{y} = \frac{12}{25} \approx 0.48 > 0.4 \) (Không thỏa mãn)

Tiếp tục thử các giá trị \( x \):
- Khi \( x = 24 \), tìm \( y = 11 \):
\[
\frac{24}{11} \approx 2.18 > 0.4 (không thỏa mãn)
\]

Tổng hợp lại các giá trị tìm được:
- Các cặp \( (x, y) \): \( (10, 27), (24, 11) \)

### Kết luận
Các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn đều là:
- \( (10, 27) \) là một trong những kết quả tìm thấy thỏa mãn nhưng không có giá trị khác trong khoảng từ 10-31, nên:
- **Kết quả cuối cùng**: \( x = 10, y = 27 \) thỏa mãn. Tiếp tục thử nghiệm một số giá trị có thể cho thêm kết quả, không bị giới hạn kết quả nguyên nêu trên.