Để chứng minh rằng \( B = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \frac{24}{25} + \ldots + \frac{2499}{2500} \) không phải là số nguyên, trước hết chúng ta cần phân tích chuỗi này.

Dễ nhận thấy rằng các số hạng có thể được mô tả bằng công thức tổng quát:
\[
\frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2}
\]
Trong đó \( n \) là số nguyên dương từ 2 đến 2500. Cụ thể, các số hạng là:
- Dành cho \( n = 2 \), có \( \frac{3}{4} \)
- Dành cho \( n = 3 \), có \( \frac{8}{9} \)
- Dành cho \( n = 4 \), có \( \frac{15}{16} \)
- Dành cho \( n = 5 \), có \( \frac{24}{25} \)
- ...
- Dành cho \( n = 2500 \), có \( \frac{2499}{2500} \)

Vì vậy, ta có thể viết lại \( B \):
\[
B = \sum_{n=2}^{2500} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)
\]
\[
= \sum_{n=2}^{2500} 1 - \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2}
\]
Trong đó, \( \sum_{n=2}^{2500} 1 = 2499 \) vì có 2499 số hạng từ 2 đến 2500.

Vậy ta có:
\[
B = 2499 - \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2}
\]

Chúng ta cần nắm bắt giá trị của \( \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \). Tổng này sẽ là một số dương, nhỏ hơn một số hữu hạn và lớn hơn 0.

Chi tiết hơn, tổng này có thể tính được một cách gần đúng. Tổng của dãy số \( \frac{1}{n^2} \) trên mức lớn sẽ hội tụ đến một hằng số, nhưng không phải là một số nguyên.

Chúng ta có thể chỉ ra rằng:
- \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \) khoảng 1,64493. Vậy tổng chỉ từ \( n=2 \) đến 2500 cũng sẽ không là một số nguyên.

Giá trị \( \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \) là một số thực, không phải nguyên. Do đó, \( 2499 - \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \) cũng không phải là một số nguyên.

Chúng ta có:
\[
B = 2499 - S \text{ (với } S = \sum_{n=2}^{2500} \frac{1}{n^2} \text{)}
\]
Kết luận rằng \( S \) không phải là số nguyên, nên \( B \) cũng không thể là số nguyên.

Vì vậy, ta xác nhận được rằng \( B \) không phải là một số nguyên. Hoàn tất chứng minh.