Cho hình tam giác ABC. M là trung điểm của BC. N nằm trên AC sao ch AN = 2NC

Để giải quyết bài toán hình tam giác ABC với các đoạn nối và điểm như đã mô tả, ta sử dụng các tính chất về tỷ lệ diện tích và các đoạn thẳng liên quan.

### A. Tính diện tích tam giác ABC

1. **Diện tích tam giác MNC** bằng 36 cm². Vì M là trung điểm của BC, nên diện tích tam giác MBC sẽ bằng 2 lần diện tích tam giác MNC:
\[
S_{MBC} = 2 \cdot S_{MNC} = 2 \cdot 36 = 72 \text{ cm}^2
\]

2. Tam giác ABC được chia thành 2 tam giác: MBC và AMC. Ta sẽ tìm diện tích của tam giác AMC:
- Từ N nằm trên AC sao cho AN = 2NC, ta có mặt phẳng của tam giác ABC chia theo tỷ lệ 2:1.
- Suy ra diện tích tam giác AMC sẽ bằng 2 lần diện tích tam giác MNC:
\[
S_{AMC} = 2 \cdot S_{MNC} = 2 \cdot 36 = 72 \text{ cm}^2
\]

3. Cuối cùng, tổng diện tích tam giác ABC sẽ là:
\[
S_{ABC} = S_{MBC} + S_{AMC} = 72 + 72 = 144 \text{ cm}^2
\]

### B. So sánh AO với OM

- Từ việc N nằm trên AC và AN:NC = 2:1, ta có thể suy ra rằng O là giao điểm của các đoạn AM và BN.
- Tam giác AMC và MNC có cùng độ cao từ M xuống BC, và S_{MNC} < S_{AMC}.
- Do đó, AO:OM sẽ tỉ lệ thuận với các diện tích tam giác tương ứng. Cụ thể:
- Tỉ lệ giữa AO và OM sẽ là 1:2.

### C. So sánh ON với OB

- Sử dụng mối quan hệ giữa tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác:
- Bởi vì O nằm giữa A và N, OA < ON. Do đó, ON < OB và tỉ lệ ON:OB = 2:1. Suy ra:
\[
ON < OB
\]

### D. Tính diện tích tam giác MNO

1. Tam giác MNO nằm trong tam giác MNC với tỷ lệ của các đoạn thẳng.
2. Do AO:OM = 1:2, tổng tỉ lệ của diện tích tam giác MNO theo chiều cao từ M tới ON sẽ là:
- Diện tích MNO = 1/3 diện tích MNC.
- Từ đó ta có:
\[
S_{MNO} = \frac{1}{3} \cdot S_{MNC} = \frac{1}{3} \cdot 36 = 12 \text{ cm}^2
\]

### Kết Luận

- a) Diện tích tam giác ABC là 144 cm².
- b) Tỉ lệ AO:OM là 1:2.
- c) ON < OB.
- d) Diện tích tam giác MNO là 12 cm².

Hy vọng rằng các bước giải thích trên đây sẽ giúp ích cho bạn trong việc hiểu và giải bài toán này !