Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

Để chứng minh rằng \( a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca) \) khi \( a + b + c = 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Từ điều kiện \( a + b + c = 0 \), ta có thể biểu diễn \( c \) theo \( a \) và \( b \):
\[
c = -a - b
\]

2. Chúng ta thay giá trị của \( c \) vào biểu thức \( a^2 + b^2 + c^2 \):
\[
a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + (-a - b)^2
\]

3. Tính \((-a - b)^2\):
\[
(-a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

4. Thay vào biểu thức:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 + 2ab
\]

5. Rút gọn biểu thức:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 2(a^2 + b^2 + ab)
\]

6. Bây giờ, ta tính \( ab + bc + ca \):
- Thay \( c = -a - b \) vào \( bc + ca \):
\[
bc + ca = b(-a - b) + a(-a - b) = -ab - b^2 - a^2 - ab = -a^2 - 2ab - b^2
\]

7. Ta tính:
\[
ab + bc + ca = ab - a^2 - 2ab - b^2 = -a^2 - ab - b^2
\]

8. Do đó:
\[
- (ab + bc + ca) = a^2 + ab + b^2
\]

9. Cuối cùng, để trở về với mục tiêu ban đầu:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca)
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca)
\]
Khi \( a + b + c = 0 \).