Để tìm các giá trị nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( xy - 2x - 3y + 1 = 0 \), chúng ta có thể biến đổi phương trình này.

Bắt đầu từ phương trình:

\[
xy - 2x - 3y + 1 = 0
\]

Chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình:

\[
xy - 2x - 3y = -1
\]

Tiếp đó, chúng ta thêm \( 6 \) vào cả hai bên:

\[
xy - 2x - 3y + 6 = 5
\]

Ta có thể nhóm các hạng tử lại:

\[
x(y - 2) - 3(y - 2) = 5
\]

\[
(x - 3)(y - 2) = 5
\]

Bây giờ, phương trình vừa biến đổi cho chúng ta biết rằng tích \( (x - 3)(y - 2) = 5 \). Để tìm các giá trị nguyên \( x \) và \( y \), chúng ta cần xác định các cặp số nguyên \( (a, b) \) sao cho \( ab = 5 \). Các cặp này là:

1. \( (1, 5) \)
2. \( (5, 1) \)
3. \( (-1, -5) \)
4. \( (-5, -1) \)

Bây giờ, ta sẽ giải từng cặp:

1. Với \( (1, 5) \):
- \( x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \)
- \( y - 2 = 5 \Rightarrow y = 7 \)
- Giải được: \( (4, 7) \)

2. Với \( (5, 1) \):
- \( x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8 \)
- \( y - 2 = 1 \Rightarrow y = 3 \)
- Giải được: \( (8, 3) \)

3. Với \( (-1, -5) \):
- \( x - 3 = -1 \Rightarrow x = 2 \)
- \( y - 2 = -5 \Rightarrow y = -3 \)
- Giải được: \( (2, -3) \)

4. Với \( (-5, -1) \):
- \( x - 3 = -5 \Rightarrow x = -2 \)
- \( y - 2 = -1 \Rightarrow y = 1 \)
- Giải được: \( (-2, 1) \)

Tóm lại, các cặp nghiệm nguyên \( (x, y) \) cho phương trình \( xy - 2x - 3y + 1 = 0 \) là:

\[
(4, 7), (8, 3), (2, -3), (-2, 1)
\]