Để chứng minh các đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ xem xét từng đẳng thức một cách chi tiết.

### 1) Chứng minh:
\[
\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x
\]

**Chứng minh:**
Sử dụng công thức biến đổi:
\[
\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x
\]

### 2) Chứng minh:
\[
\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x
\]

**Chứng minh:**
Sử dụng công thức hằng đẳng thức:
\[
\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1(1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x
\]

### 3) Chứng minh:
\[
\sin^3 x - \cos^3 x = 1 - 2 \cos^2 x
\]

**Chứng minh:**
Sử dụng công thức hằng đẳng thức:
\[
\sin^3 x - \cos^3 x = (\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)
\]
Sau đó cần kiểm tra xem biểu thức có bằng với \(1 - 2 \cos^2 x\).

### 4) Chứng minh:
\[
\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}
\]

**Chứng minh:**
Chuyển đổi biểu thức:
\[
\frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = \frac{(1 - \cos^2 x)}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{\sin x (1 + \cos x)} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}
\]

### 5) Chứng minh:
\[
\frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{2}{\sin x} = \frac{2 \cos x}{\sin x + 1}
\]

**Chứng minh:**
Chuyển đổi và rút gọn biểu thức bằng cách tìm mẫu chung.

### 6) Chứng minh:
\[
\frac{\sin x + \cos x - 1}{1 - \cos x} = \frac{2 \cos x}{\sin x - \cos x + 1}
\]

**Chứng minh:**
Chuyển đổi và rút gọn hai bên để kiểm tra tính tương đương.

### Kết luận
Từng bước chứng minh sẽ dẫn đến các đẳng thức ban đầu. Nếu cần chi tiết từng bước hơn trong một số đẳng thức cụ thể, bạn có thể đề cập để tôi giải thích sâu hơn.