Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu từ biểu thức mà bạn đã cho:

### Bước 1: Tính biểu thức \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2022} \)

Đây là một số hạng của cấp số nhân với số hạng đầu là \( a = 2 \) và tỷ số \( q = 2 \).

Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}
\]

Trong đó:
- \( a = 2 \)
- \( q = 2 \)
- \( n = 2022 \) (vì có 2022 số hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^{2022} \))

Áp dụng vào công thức:

\[
A = \frac{2(1 - 2^{2022})}{1 - 2} = 2(1 - 2^{2022}) = 2^{2023} - 2
\]

### Bước 2: Tính \( 2(A + 2) \)

Bây giờ, ta thay \( A \) vào biểu thức \( 2(A + 2) \):

\[
A + 2 = (2^{2023} - 2) + 2 = 2^{2023}
\]

Vậy:

\[
2(A + 2) = 2 \times 2^{2023} = 2^{2024}
\]

### Bước 3: Tìm \( x \) trong \( 2(A + 2) = 2^x \)

Ta có:

\[
2^{2024} = 2^x
\]

Vì cùng cơ số, ta có thể so sánh số mũ:

\[
x = 2024
\]

### Kết luận

Vậy, giá trị của \( x \) là:

\[
\boxed{2024}
\]