Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = CN

Để chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành, chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành.

Trước hết, ta có hình bình hành ABCD, do đó:
- \( AB \parallel DC \)
- \( AD \parallel BC \)
- \( AB = CD \) và \( AD = BC \)

Ta có:
- \( AM = CN \)

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng \( AC \) cắt \( MN \) tại O và O là trung điểm của cả AM và CN.


### 2. Chứng minh AN // CM

Từ tính chất của hình bình hành, ta biết rằng:
- \( AB \parallel DC \) và \( AM \parallel CN \) vì điểm M nằm trên AB, điểm N nằm trên DC.

Do đó, \( AN \parallel CM \) vì các đoạn này là phần kéo dài của các đoạn thẳng song song với AB và DC trong tứ giác AMCN.

### 3. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của MN.

Giả sử O là giao điểm của AC và BD, ta cần chứng minh \( MO = ON \).

Trong hình bình hành, chúng ta có:
- \( AO = OC \) (O là trung điểm của AC)
- \( BO = OD \) (O là trung điểm của BD)

Bây giờ, ta xem xét các đoạn MN:
- Từ giả thiết, ta có \( AM = CN \)
- Vì M, N lần lượt ở trên AB và DC, nên độ dài:
\[
AM + MO = CN + ON
\]
Từ đó, ta có:
\[
MO = ON
\]

Như vậy, O là trung điểm của MN.

### Kết luận

Từ ba phần chứng minh trên, chúng ta có thể kết luận rằng tứ giác AMCN là hình bình hành, AN song song với CM và O là trung điểm của MN.