Để giải bài toán hình học này, ta sẽ tiến hành từng bước.

### a) Chứng minh từ tam giác MIHD là hình chữ nhật:
1. **Xác định các góc**:
- Ta có \( MI \perp AH \) và \( MD \perp CH \) (từ đề bài).
- Điều này cho ta \( \angle MHI = 90^\circ \) và \( \angle MHD = 90^\circ \).

2. **Tính chất cạnh đối**:
- Trong tam giác \( MIHD \), nếu \( I \) và \( D \) nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với \( AC \), thì ta có \( MI = MD \).

3. **Kết luận**:
- Tam giác \( MIHD \) có hai cặp cạnh vuông góc và bằng nhau, do đó kết luận được rằng \( MIHD \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh \( \triangle AMI = \triangle MCD \) và \( \triangle AMI \) là hình bình hành:
1. **Chứng minh 2 tam giác đồng dạng**:
- Do \( AM = MC \) (M là trung điểm) và \( \angle AMI = \angle CMD = 90^\circ \) (do tính chất vuông góc), ta có thể áp dụng tiêu chuẩn đồng dạng (cạnh - góc - cạnh).

2. **Chứng minh hình bình hành**:
- Với \( AM = MC \) và \( MI = MD \), ta có \( AC \parallel MD \).
- Do đó, \( \triangle AMI \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh \( MH = OK \):
1. **Gọi lại các điểm và đường thẳng**:
- O là giao điểm của AD và MI.
- K là giao điểm của đường AD và CD.

2. **Chứng minh tọa độ**:
- Ta có thể sử dụng tính chất đồng dạng và các hình chiếu để chứng minh rằng \( MH = OK \).
- Nếu cân bằng về cạnh và góc, ta sẽ có \( MH \parallel OK \) và \( MH = OK \).

3. **Kết thúc**:
- Kết luận \( MH = OK \).

Hy vọng rằng các hướng dẫn này giúp bạn hiểu rõ hơn về yêu cầu và cách giải bài toán! Nếu cần thêm thông tin chi tiết hơn ở bất kỳ điểm nào, bạn cứ hỏi nhé!