Chúng ta có biểu thức

\[
A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{99}
\]

Đây là một cấp số nhân có công thức tổng quát. Tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu là \(a\), công bội là \(q\) và số hạng cuối là \(n\) sẽ được tính theo công thức:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(q = 3\) và \(n = 100\) (có 100 hạng từ \(3^0\) đến \(3^{99}\)). Do đó, ta có:

\[
A = \frac{3^{100} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{100} - 1}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta cần tính giá trị của \(A\) khi chia cho 13. Để làm điều này, trước tiên chúng ta tính \(3^{100} \mod 13\). Theo định lý Fermat, vì 3 và 13 là coprime, ta có:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Do đó, để tính \(3^{100} \mod 13\), ta cần tính \(100 \mod 12\):

\[
100 \div 12 = 8 \quad \text{và dư} \ 4
\]
\[
100 \mod 12 = 4
\]

Vậy nên:

\[
3^{100} \equiv 3^4 \mod 13
\]

Bây giờ chúng ta tính \(3^4\):

\[
3^4 = 81
\]

Tiếp theo, tính \(81 \mod 13\):

\[
81 \div 13 = 6 \quad \text{và dư} \ 3
\]
\[
81 \mod 13 = 3
\]

Vậy:

\[
3^{100} \equiv 3 \mod 13
\]

Thay vào công thức tính \(A\):

\[
A \equiv \frac{3 - 1}{2} \mod 13
\]
\[
A \equiv \frac{2}{2} \mod 13
\]
\[
A \equiv 1 \mod 13
\]

Cuối cùng, khi chia \(A\) cho 13, số dư là

\[
\boxed{1}
\]