Để xét tính đúng sai của các mệnh đề với biểu thức \( P(n) = 9n^2 - 6n - 8 \) (với \( n \in \mathbb{N} \)), ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.

### a) Ta có \( P(7) \) có giá trị là số lẻ.
Tính giá trị của \( P(7) \):
\[
P(7) = 9(7^2) - 6(7) - 8 = 9(49) - 42 - 8 = 441 - 42 - 8 = 391.
\]
Kết quả là \( 391 \), số lẻ. Mệnh đề này **đúng**.

### b) Ta có \( P(4) + 2024 \) có giá trị là số nguyên tố.
Tính giá trị của \( P(4) \):
\[
P(4) = 9(4^2) - 6(4) - 8 = 9(16) - 24 - 8 = 144 - 24 - 8 = 112.
\]
Vậy \( P(4) + 2024 = 112 + 2024 = 2136 \).
Số 2136 là số chẵn và lớn hơn 2, do đó không thể là số nguyên tố. Mệnh đề này **sai**.

### c) Ta có \( P(7n) > P(n) - 25 \) với \( n = 4 \).
Tính \( P(7n) \) và \( P(n) \) với \( n = 4 \):
\[
P(28) = 9(28^2) - 6(28) - 8 = 9(784) - 168 - 8 = 7056 - 168 - 8 = 6880.
\]
\[
P(4) = 112 \quad \text{(tính ở phần b)}
\]
Vậy ta cần so sánh:
\[
P(7n) = 6880 \quad \text{với} \quad P(4) - 25 = 112 - 25 = 87.
\]
Rõ ràng \( 6880 > 87 \). Mệnh đề này **đúng**.

### d) Không tồn tại số tự nhiên \( n \) để biểu thức \( \frac{P(n) + 1}{n - 5} \) có giá trị nguyên.
Để biểu thức này có giá trị nguyên, \( P(n) + 1 \) phải chia hết cho \( n - 5 \). Xét \( P(n) + 1 = 9n^2 - 6n - 8 + 1 = 9n^2 - 6n - 7 \).

Ta kiểm tra \( n = 6 \):
\[
P(6) + 1 = 9(6^2) - 6(6) - 7 = 9(36) - 36 - 7 = 324 - 36 - 7 = 281.
\]
Và \( n - 5 = 1 \) (nguyên). Vậy tồn tại \( n = 6 \) làm biểu thức có giá trị nguyên. Mệnh đề này **sai**.

### Kết luận:
- a) Đúng
- b) Sai
- c) Đúng
- d) Sai