Cho tam giác ABC vuông tại A đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của IM lấy điểm K sao cho IK=IM

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), \( AM \) là đường trung tuyến nối \( A \) với trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \). Đặt \( I \) là trung điểm của cạnh \( AC \). Bây giờ, xác định điểm \( K \) trên tia đối của \( IM \) sao cho đoạn thẳng \( IK = IM \).

### Các bước thực hiện:

1. **Xác định các điểm**:
- Giả sử tọa độ các điểm là:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)
- Tính tọa độ điểm \( M \) (trung điểm của BC):
\[
M\left(\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]
- Tính tọa độ điểm \( I \) (trung điểm của AC):
\[
I\left(0, \frac{c}{2}\right)
\]

2. **Tính vectơ \( IM \)**:
- Vectơ \( IM \) được tính như sau:
\[
IM = M - I = \left(\frac{b}{2} - 0, \frac{c}{2} - \frac{c}{2}\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]

3. **Tính độ dài \( IK \)**:
- Chúng ta cần tìm điểm \( K \) sao cho \( IK = IM \).
- Độ dài \( IM \) là:
\[
|IM| = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{b}{2}
\]
- Vậy chúng ta cần \( IK = \frac{b}{2} \).

4. **Xác định chỉ phương của tia đối IM**:
- Vectơ \( IM \) hướng sang phải, chính xác là theo phương \( (1, 0) \) (tức là hướng trục \( x \)).
- Tia đối của \( IM \) sẽ có hướng là cả hai hướng trái: \( (-1, 0) \).

5. **Chọn điểm \( K \)**:
- Điểm \( K \) có thể đặt vào tọa độ dựa vào phương trình:
\[
K = I + (-1, 0) \cdot d \quad (d = \frac{b}{2} \text{ để có độ dài đúng} )
\]
- Như vậy,
\[
K = I + \left(-\frac{b}{2}, 0\right) = \left(0 - \frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) = \left(-\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right)
\]

### Kết luận:
Điểm \( K \) có tọa độ là \( K\left(-\frac{b}{2}, \frac{c}{2}\right) \). Với độ dài \( IK = IM \) đảm bảo yêu cầu của bài toán.