Để giải phương trình \( x^3 + 8 + (2+x)(x-10) = 0 \), chúng ta sẽ bắt đầu với việc khai triển và thu gọn biểu thức bên trái.

1. **Khai triển biểu thức**:
\[
(2+x)(x-10) = 2x - 20 + x^2 - 10x = x^2 - 8x - 20
\]

2. **Thay vào phương trình**:
\[
x^3 + 8 + (x^2 - 8x - 20) = 0
\]
\[
x^3 + x^2 - 8x + 8 - 20 = 0
\]
\[
x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm nghiệm của phương trình \( x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0 \). Ta có thể thử nghiệm một số giá trị nguyên:

- Thử \( x = 2 \):
\[
2^3 + 2^2 - 8 \cdot 2 - 12 = 8 + 4 - 16 - 12 = -16 \quad (không phải)
\]

- Thử \( x = -2 \):
\[
(-2)^3 + (-2)^2 - 8 \cdot (-2) - 12 = -8 + 4 + 16 - 12 = 0 \quad (nghiệm)
\]

Nghiệm \( x = -2 \) là một nghiệm của phương trình. Bây giờ ta sẽ thực hiện phân tích đa thức theo nghiệm này:

3. **Phân tích đa thức**:
Sử dụng phép chia đa thức:
\[
x^3 + x^2 - 8x - 12 = (x + 2)(x^2 - x - 6)
\]

Tiếp theo, ta giải phương trình bậc hai:
\[
x^2 - x - 6 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm bậc hai:
\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}
\]
Suy ra:
\[
x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2
\]

Vậy, các nghiệm của phương trình \( x^3 + x^2 - 8x - 12 = 0 \) là \( x = -2, 3 \).

4. **Giải phương trình thứ hai**:
Ta có phương trình \( (x^2+x+1)(x^2+x+2) = 12 \).

Đặt \( y = x^2 + x \), khi đó:
\[
(y+1)(y+2) = 12
\]
Suy ra:
\[
y^2 + 3y + 2 - 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 3y - 10 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai:
\[
y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}
\]
Khi đó:
\[
y_1 = 2 \quad (x^2 + x - 2 = 0) \quad \Rightarrow \quad x = 1 \text{ hoặc } -2
\]
\[
y_2 = -5 \quad (không có nghiệm thực)
\]

### Kết quả
- Phương trình đầu tiên có các nghiệm: \( x = -2, 3 \).
- Phương trình thứ hai có nghiệm thực là \( x = 1 \) hoặc \( x = -2 \).

**Vậy các nghiệm của cả hai phương trình là:**
- Phương trình đầu tiên: \( x = -2, 3 \).
- Phương trình thứ hai: \( x = 1, -2 \).