Để giải phương trình \( (y - 2018)^{2018} + |y - 2019| = 1 \), chúng ta hãy phân tích từng phần.

1. **Xét trường hợp \( y \geq 2019 \)**:
- Khi \( y \geq 2019 \), ta có \( |y - 2019| = y - 2019 \).
- Thay vào phương trình ta có:
\[
(y - 2018)^{2018} + (y - 2019) = 1
\]
\[
(y - 2018)^{2018} + (y - 2019) = 1 \implies (y - 2018)^{2018} + (y - 2018 - 1) = 1
\]
\[
(y - 2018)^{2018} + (y - 2018) - 1 = 1
\]
\[
(y - 2018)^{2018} + (y - 2018) = 2
\]

Đặt \( z = y - 2018 \):
\[
z^{2018} + z = 2
\]

2. **Xét trường hợp \( y < 2019 \)**:
- Khi \( y < 2019 \), ta có \( |y - 2019| = 2019 - y \).
- Thay vào phương trình ta có:
\[
(y - 2018)^{2018} + (2019 - y) = 1
\]
\[
(y - 2018)^{2018} + 2019 - y = 1
\]
\[
(y - 2018)^{2018} - y + 2020 = 0
\]

Kết hợp cả hai trường hợp, chúng ta chỉ cần giải các phương trình tương ứng cho từng trường hợp.

Bây giờ, tìm giá trị của \( z = y - 2018 \):

### Xét phương trình \( z^{2018} + z = 2 \):

- **Giá trị \( z = 1 \)**:
\[
1^{2018} + 1 = 1 + 1 = 2 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]
=> Khi \( z = 1 \), ta có \( y - 2018 = 1 \) dẫn đến \( y = 2019 \).

- **Giá trị khác**:
Nếu \( z = 0 \), ta có \( 0^{2018} + 0 = 0 \) không thỏa mãn.
Nếu \( z = 2 \), ta có \( 2^{2018} + 2 >> 2 \) không thỏa mãn.

Do đó, khả năng duy nhất với \( z = 1 \) là thỏa mãn.

### Xét phương trình \( (y - 2018)^{2018} - y + 2020 = 0 \):

Tương tự, ta bắt đầu từ \( y = 2018 \) và xét các giá trị giảm dần.

- **Giá trị \( y = 2018 \)**:
\[
(0)^{2018} - 2018 + 2020 = 0 \quad \text{hợp lệ}.
\]

### Kết luận:

Hai giá trị thỏa mãn phương trình:
- \( y = 2018 \).
- \( y = 2019 \).

=> Các giá trị nguyên \( y \) là: \( \boxed{2018} \) và \( \boxed{2019} \).