Để tìm số giá trị nguyên dương của tham số \( m \) sao cho \( A \cap B \neq \emptyset \), ta cần tìm điều kiện để hai khoảng \( A \) và \( B \) có phần giao nhau.

- Tập \( A = [m; m + 3] \)
- Tập \( B = [2m + 2; 3m + 5] \)

Điều kiện \( A \cap B \neq \emptyset \) tương đương với:
1. \( m \leq 3m + 5 \) (để mốc dưới của \( A \) nằm bên trái mốc trên của \( B \))
2. \( 2m + 2 \leq m + 3 \) (để mốc dưới của \( B \) nằm bên trái mốc trên của \( A \))

Giải từng bất đẳng thức.

### Bất đẳng thức 1:
\[
m \leq 3m + 5
\]
\[
0 \leq 2m + 5 \implies 2m \geq -5 \implies m \geq -\frac{5}{2}
\]
Đối với \( m \) là số nguyên dương, bất đẳng thức này luôn đúng.

### Bất đẳng thức 2:
\[
2m + 2 \leq m + 3
\]
\[
2m - m \leq 3 - 2 \implies m \leq 1
\]

Vì \( m \) là số nguyên dương, ta có \( m = 1 \).

### Kết luận:
Chỉ có một giá trị nguyên dương của \( m \) thỏa mãn điều kiện, đó là \( m = 1 \).

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số \( m \) để \( A \cap B \neq \emptyset \) là \( \boxed{1} \).