Cho tam giác ABC có ∠A = 90°; AB = AC = a và AD là đường hạ từ A xuống cạnh DF // AB (với E ∈ AC). Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình vuông

Để chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông, ta tiến hành như sau:

1. **Chứng minh các cạnh AE, ED, DF, FA bằng nhau:**
- Ta có tam giác ABC vuông tại A với AB = AC = a.
- Do AD là đường hạ từ A xuống DF // AB, ta có ∠ADE = ∠BAE = 90°.
- Bởi vì DE // AC và AD // AB thì tam giác ABE và tam giác AED đồng dạng (theo tiêu chí góc - góc).
- Từ đó, ta sẽ có:
- AE = AD (vì AE và AD cùng vuông góc với AB).
- DE = DF (do DE // DF).
- Như vậy, AE = ED = DF = FA = x (một độ dài nào đó).

2. **Chứng minh các góc:**
- ∠AED = ∠EAD = 90° (bởi AE = AD và AE vuông góc với AD).
- Từ đó, tứ giác AEDF có 4 cạnh bằng nhau và có 4 góc vuông, do đó tứ giác AEDF là hình vuông.

3. **Chứng minh CE = BF:**
- Cách chứng minh này có thể dựa vào tính chất của tam giác và sự tương đồng của các phần của hình vẽ.
- Ta có tam giác ABD và ACD cũng là các tam giác vuông tại A, cùng có độ dài cạnh AB = AC = a.
- Do đó, CE = BF (bằng nhau) khi chỉ ra rằng chúng đều là các đoạn thẳng từ A tới các cạnh hai bên, và bằng nhau về chiều dài nhờ tính chất đối xứng của tam giác vuông.

Tóm lại, tứ giác AEDF là hình vuông và CE = BF.