Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 24x \) trên đoạn \([2; 19]\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm** của hàm số:
\[
f'(x) = 3x^2 - 24
\]

2. **Giải phương trình** \( f'(x) = 0 \):
\[
3x^2 - 24 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm 2\sqrt{2}
\]
Chỉ lấy giá trị \( x = 2\sqrt{2} \) vì nó nằm trong đoạn \([2; 19]\).

3. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm**:
- Tại \( x = 2 \):
\[
f(2) = 2^3 - 24 \cdot 2 = 8 - 48 = -40
\]
- Tại \( x = 19 \):
\[
f(19) = 19^3 - 24 \cdot 19 = 6859 - 456 = 6403
\]
- Tại \( x = 2\sqrt{2} \):
\[
f(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^3 - 24(2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} - 48\sqrt{2} = -32\sqrt{2}
\]

4. **So sánh các giá trị đã tính**:
- \( f(2) = -40 \)
- \( f(19) = 6403 \)
- \( f(2\sqrt{2}) = -32\sqrt{2} \approx -45.25 \)

Dễ dàng nhận thấy rằng giá trị nhỏ nhất trong ba giá trị này là \( f(2) = -40 \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([2; 19]\) là:
\[
\boxed{-40}
\]