Để giải bài toán này, trước tiên ta cần hiểu điều kiện mà nghiệm của phương trình phải thỏa mãn.

Phương trình đã cho là:

\[ x^2 + 5mx - 4 = 0 \]

Nghiệm của phương trình này có thể được quy đổi về tổng và tích của các nghiệm, cụ thể:

- Tổng các nghiệm \( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -5m \)
- Tích các nghiệm \( P = x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -4 \)

Theo điều kiện bài toán, có:

\[ x_1^2 + x_2^2 + 6x_1 x_2 = 9 \]

Mà tọa độ \( x_1^2 + x_2^2 \) có thể được tính từ tổng các nghiệm và tích:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S^2 - 2P \]

Thay \( S \) và \( P \) vào, ta có:

\[ x_1^2 + x_2^2 = (-5m)^2 - 2(-4) = 25m^2 + 8 \]

Tiến hành thay vào điều kiện bài toán:

\[ 25m^2 + 8 + 6(-4) = 9 \]

\[ 25m^2 + 8 - 24 = 9 \]

\[ 25m^2 - 16 = 9 \]

\[ 25m^2 = 25 \]

\[ m^2 = 1 \]

Vậy ta tìm được \( m = 1 \) hoặc \( m = -1 \).

Vậy giá trị của \( m \) để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán là:

\[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -1 \]