Để giải phương trình bậc hai \( 4x^2 - 5x + 1 = 0 \), trước tiên, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \( a = 4 \), \( b = -5 \), và \( c = 1 \).

1. Tính discriminant \( D \):

\[
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9
\]

2. Tính nghiệm:

\[
x_1, x_2 = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8}
\]

\[
x_1 = \frac{8}{8} = 1, \quad x_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]

Bây giờ chúng ta có hai nghiệm \( x_1 = 1 \) và \( x_2 = \frac{1}{4} \).

Tiếp theo, chúng ta cần tính \( x_1^3 + x_2^3 \).

3. Tính từng giá trị \( x_1^3 \) và \( x_2^3 \):

\[
x_1^3 = 1^3 = 1
\]

\[
x_2^3 = \left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64}
\]

4. Tính tổng:

\[
x_1^3 + x_2^3 = 1 + \frac{1}{64}
\]

Để cộng hai số này, ta đưa về chung một mẫu:

\[
1 = \frac{64}{64}
\]

Vậy:

\[
1 + \frac{1}{64} = \frac{64}{64} + \frac{1}{64} = \frac{65}{64}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
x_1^3 + x_2^3 = \frac{65}{64}
\]