Để chứng minh rằng \(\overline{BMC} = \overline{ABM} + \overline{ACM} + \overline{BAC}\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác.

1. **Hệ thống đỉnh**: Gọi \(A\), \(B\), \(C\) là các đỉnh của tam giác và \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

2. **Tính chất của trọng tâm**: Trọng tâm \(M\) chia mỗi đoạn nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện thành tỉ lệ \(2:1\). Tức là:
- \(AM: MB = 2:1\)
- \(BM: MC = 2:1\)
- \(CM: MA = 2:1\)

3. **Diện tích**: Ta biết rằng diện tích của tam giác có thể được tính bằng cách sử dụng định nghĩa và tính chất của trọng tâm.
- Diện tích của tam giác \(ABC\) là \(\overline{BAC}\).
- Diện tích của tam giác \(ABM\) là \(\overline{ABM}\).
- Diện tích của tam giác \(ACM\) là \(\overline{ACM}\).
- Diện tích của tam giác \(BMC\) là \(\overline{BMC}\).

4. **Quan hệ diện tích**: Theo tính chất của trọng tâm, ta có:

\[
\overline{BMC} = \overline{ABC} - (\overline{ABM} + \overline{ACM}) = \overline{ABM} + \overline{ACM} + \overline{BAC}
\]

5. **Kết luận**: Từ các bước trên, chúng ta có thể kết luận ta có thể biểu diễn diện tích tam giác \(BMC\) như là tổng diện tích các tam giác \(ABM\), \(ACM\) và diện tích của tam giác \(BAC\):

\[
\overline{BMC} = \overline{ABM} + \overline{ACM} + \overline{BAC}
\]

Chứng minh đã hoàn thành.