Giải bài toán như sau:

**a) Chứng minh \( HA = HB \), \( OA = OB \):**

1. **Tia phân giác:** Vì tia \( Ox \) là tia phân giác của góc \( mOn \) và góc \( mOn \) bằng \( 100^\circ \), do đó \( \angle mOH = \angle nOH = 50^\circ \).

2. **Tam giác vuông:** Xét hai tam giác vuông \( OHA \) và \( OHB \):
- \( OA \) vuông góc với \( OH \)
- \( OB \) vuông góc với \( OH \)
- Do đó, \( OA = OB \) (cạnh đứng đối diện với góc vuông).

3. **Góc:** Ta có \( \angle OHA = \angle OHB = 50^\circ \) (góc định nghĩa).

4. **Sử dụng định lý sinus:** Từ các tam giác vuông,
\[
\frac{HA}{\sin(50^\circ)} = \frac{OA}{\sin(90^\circ)} \quad \text{và} \quad \frac{HB}{\sin(50^\circ)} = \frac{OB}{\sin(90^\circ)}
\]
Từ \( OA = OB \), suy ra \( HA = HB \).

**b) Tính số đo các góc của tam giác \( OAB \):**

- \( \angle OAH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \)
- \( \angle OBH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \)
- \( \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAH + \angle OBH) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ \)

=> Các góc \( OAH = OBH = 40^\circ \) và \( AOB = 100^\circ \).

**c) Trên tia \( Ox \) lấy điểm \( C \) sao cho \( \angle HBC = 60^\circ \):**

- Do \( \angle HBC = 60^\circ \) đươc xác định, ta có

**Chứng minh tam giác \( ABC \) đều:**

- Do \( \angle HBC = 60^\circ \) và \( HA = HB \), \( \triangle HBC \) có \( HB = HC \).
- Vậy \( \triangle ABC \) là tam giác đều.

**d) Trên cạnh \( BC \) lấy điểm \( E \) sao cho \( BE = BO \). Chứng minh \( AB = OE \):**

1. Từ tam giác \( OAH \) và \( OBH \) có \( OA = OB \) và \( HA = HB \).
2. Do \( BE = BO \), ta suy ra \( AB = OE \) từ tính chất của các đoạn thẳng.

Như vậy, các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.