Để chứng minh bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác cân, các đường vuông góc, và các tính chất của hình học.

### Chứng minh:

#### a) Chứng minh AM = AN

Xét tam giác ABC với AB = AC và B = C. Điều này cho thấy tam giác ABC là một tam giác cân tại đỉnh A.

- Gọi O là trung điểm BC. Do điều kiện đã cho, M và N nằm trên các tia đối của BC và CB, và BM = CN.

- Xét đoạn thẳng MO và NO. Bởi vì O là trung điểm của BC, khi ta xem M và N như hai điểm có độ dài bằng nhau từ B và C (BM = CN), đoạn thẳng OM và ON sẽ có độ dài bằng nhau, tức là MO = NO.

- Lập luận tương tự với AM và AN, ta thấy rằng AN và AM là hai hình chiếu từ điểm A lên các đoạn thẳng MO và NO, và do đó suy ra AM = AN.

#### b) Chứng minh BE = CF

Ta có:

- BE vuông góc với AM: Điều này có nghĩa là BE là đường cao của tam giác ABM từ B xuống AM.
- CF vuông góc với AN: Tương tự, CF là đường cao của tam giác ACN từ C xuống AN.

Vì AM = AN từ phần chứng minh a), và các tam giác ABM và ACN là hai tam giác cân với AB = AC, mà chúng lại có cùng đáy AM (hoặc AN) thuộc đoạn thẳng BM và CN có độ dài bằng nhau (BM = CN), nên ta có BE = CF.

#### c) Chứng minh tam giác BME = tam giác CNE

Để chứng minh tam giác BME và CNE, ta có:

- BE vuông góc với AM và CF vuông góc với AN (đã chứng minh ở trên).
- Các cạnh BM và CN có độ dài bằng nhau: BM = CN.
- Các cạnh AM và AN bằng nhau: AM = AN.

Như vậy, ta có:

- Hai tam giác BME và CNE có chung cạnh ME (không thay đổi khi biến đổi M và N tuỳ ý), và có các cạnh BM = CN, các góc ở E và F đều là các góc vuông.

Từ đó, theo định lý bằng nhau của hai tam giác (cạnh – cạnh – góc vuông), ta suy ra:

- \( \triangle BME \cong \triangle CNE \).

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh các yêu cầu của bài toán:
- \( AM = AN \)
- \( BE = CF \)
- \( \triangle BME \cong \triangle CNE \)

Hy vọng rằng các bước chứng minh trên sẽ giúp ích cho bạn!