Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia DM, lấy điểm E sao cho DE = DM. Giải thích tại sao tam giác AEBM là hình thoi và tứ giác AEBM có điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?

Để giải thích tại sao tam giác \( AEBM \) là hình thoi và điều kiện để tứ giác \( AEBM \) trở thành hình vuông, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Giải thích tại sao tứ giác AEBM là hình thoi:

1. **Định nghĩa hình thoi:** Hình thoi là tứ giác có tất cả bốn cạnh bằng nhau.

2. **Các cạnh của tứ giác \( AEBM \):**
- Ta có \( DE = DM \) theo giả thiết, và vì \( E \) được lấy trên tia đối của tia \( DM \), suy ra \( AE = AM \) (cùng là bán kính từ điểm \( A \) tới điểm \( E \) và \( M \)).
- Hơn nữa, vì \( D \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AD = DB \).

3. **Xét các cạnh:**
- Do đó, ta có:
- \( AE = AM \)
- \( DE = DM \)
- \( AD = DB \)
- Ta lại có \( AB = 2AD \).

4. Kết hợp tất cả các thông tin trên, ta thấy rằng mỗi cạnh của tứ giác \( AEBM \) đều có chiều dài bằng nhau, do đó, \( AEBM \) là hình thoi.

### b) Tứ giác AEBM là hình vuông khi nào?

1. **Định nghĩa hình vuông:** Hình vuông là hình thoi có tất cả các góc bằng nhau (góc vuông).

2. **Tình huống:** Để tứ giác \( AEBM \) là hình vuông, cần có một điều kiện về góc:
- Nếu \( AEB \) là góc vuông, tức là \( \angle AEB = 90^\circ \).

3. **Điều kiện này từ tam giác \( ABC \):**
- F Các điểm \( A, B, C \) tạo thành một tam giác vuông tại \( A \), nghĩa là \( \angle BAC = 90^\circ \). Điều này sẽ ảnh hưởng đến tính chất của góc \( AEB \).

### Kết luận:
- Tứ giác \( AEBM \) là hình thoi do tất cả bốn cạnh đều bằng nhau.
- Tứ giác \( AEBM \) là hình vuông khi góc \( \angle AEB \) là góc vuông.