Để chứng minh \(AB = CD\) và \(AB \parallel CD\) theo thông tin đã cho, ta có thể làm như sau:

### Giả sử
Cho hình thoi \(O\) là giao điểm của hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) với \(OA = OD\) và \(OB = OC\).

### Chứng minh \(AB = CD\)

1. **Xét tam giác \(OAB\) và \(OCD\):**
- Trong tam giác \(OAB\):
- \(OA = OD\) (giả thiết)
- \(OB = OC\) (giả thiết)
- Gọi góc \(OAB\) là \(\alpha\) và góc \(OCD\) là \(\beta\).
- Ta có:
- Từ định lý Sin trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AB}{\sin \beta} = \frac{OA}{\sin \alpha} \quad (1)
\]
\[
\frac{CD}{\sin \alpha} = \frac{OD}{\sin \beta} \quad (2)
\]

2. **Áp dụng định lý Sin:**
- Từ (1) và (2):
- Vì \(OA = OD\), ta suy ra:
\[
\frac{AB \cdot \sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{CD \cdot \sin \beta}{\sin \alpha}
\]
- Do đó, với \(OA = OD\), ta có \(AB = CD\).

### Chứng minh \(AB \parallel CD\)

1. **Dựa vào góc:**
- Từ hai tam giác \(OAB\) và \(OCD\) vừa chứng minh, ta có:
- \(góc OAB = góc OCD\)
- \(góc OBA = góc ODC\)

2. **Hệ quả:**
- Theo định lý về góc đồng vị, nếu hai đoạn thẳng cắt nhau bởi một đường ngang thì các cặp góc đồng vị bằng nhau.
- Do đó, ta kết luận rằng \(AB \parallel CD\).

### Kết luận

- Ta đã chứng minh được rằng \(AB = CD\) và \(AB \parallel CD\) dựa trên các giả thiết đã cho.