Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a. Chứng minh \( AB = CD \)

1. **Gọi các góc**:
- Gọi \( \angle AOB \) là góc ở đỉnh \( O \).
- Gọi \( \angle COD \) là góc ở đỉnh \( O \).

2. **Sử dụng định lý**:
- Theo các trường hợp của tam giác, ta có:
\[
OA = OD \quad (\text{cho trước})
\]
\[
OB = OC \quad (\text{cho trước})
\]

3. **Áp dụng định lý tam giác**:
- Trong tam giác \( OAB \) và \( OCD \):
- \( OA = OD \)
- \( OB = OC \)
- Từ đó, theo định lý định luật cosine, ta có:
\[
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)
\]
\[
CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot \cos(\angle COD)
\]
- Do \( \angle AOB = \angle COD \) (cùng là góc đối) => ta suy ra:
\[
AB = CD
\]

### b. Chứng minh \( AB \parallel CD \)

1. **Sử dụng các góc**:
- Gọi \( \alpha = \angle AOB \) và \( \beta = \angle COD \).

2. **Góc đối trong hình**:
- Ta có \( \angle AOB + \angle COD = 180^\circ \) (do chúng là hai góc đối ở điểm O).

3. **Kết luận về tính song song**:
- Khi hai góc cùng phía nằm trong cùng một mặt phẳng, mà tổng của chúng bằng \( 180^\circ \) thì hai đường thẳng \( AB \) và \( CD \) sẽ song song với nhau.
- Do đó, \( AB \parallel CD \).

### Kết luận
- Ta đã chứng minh rằng \( AB = CD \) và \( AB \parallel CD \).