Để chứng minh biểu thức

\[
A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} < 1,
\]

chúng ta có thể sử dụng một số kiến thức cơ bản về chuỗi số hạng.

### Bước 1: Biểu thức tổng quát

Nhìn vào giá trị của từng phần tử trong chuỗi, chúng ta thấy rằng

\[
\frac{1}{k^2}
\]

giảm dần khi \( k \) tăng. Sử dụng tổng vô hạn của chuỗi này để áp dụng một số kết quả về tính hội tụ:

### Bước 2: Tính giá trị của tổng

Tổng của chuỗi

\[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}
\]

là một chuỗi hội tụ và có giá trị là \( \frac{\pi^2}{6} \). Tuy nhiên, chúng ta chỉ cần xét phần tổng từ \( k=2 \) đến \( n \):

\[
A = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}.
\]

### Bước 3: So sánh với chuỗi vô hạn

Chúng ta biết rằng tổng từ \( k=2 \) đến vô hạn:

\[
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1,
\]

và giá trị này nhỏ hơn 1 (vì \( \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645 \)).

### Bước 4: Kết luận

Ta có thể thấy rằng:

\[
A < \frac{\pi^2}{6} - 1 < 1.
\]

Do đó,

\[
\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{n^2} < 1,
\]

và chứng minh đã hoàn thành.