Rút gọn biểu thức? Cho biểu thức \(P = \frac{2x + 2}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}}\). Rút gọn biểu thức \(P\) với \(x > 0; x \neq 1\)? So sánh \(P\) với 6 khi \(x > 0; x \neq 1\)

Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{2x + 2}{\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1}} \), trước tiên ta sẽ tìm cách loại bỏ mẫu số bằng cách nhân số và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số.

**Bước 1: Nhân với liên hợp**

Ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số:

\[
P = \frac{(2x + 2)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})}{(\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 1})(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})}
\]

**Bước 2: Đơn giản mẫu số**

Mẫu số trở thành:

\[
(\sqrt{x - 1})^2 - (\sqrt{x + 1})^2 = (x - 1) - (x + 1) = -2
\]

Vậy ta có:

\[
P = \frac{(2x + 2)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})}{-2} = -(x + 1)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})
\]

**Bước 3: So sánh với 6**

Bây giờ, để so sánh \( P \) với 6, ta cần có thông tin về trị số của \( \sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1} \).

Ta có:

\[
P = -(x + 1)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1})
\]

### So sánh \( P \) với 6:

Ta cần giải bất đẳng thức sau:

\[
-(x + 1)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}) > 6
\]

Biến đổi để so sánh:

\[
(x + 1)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}) < -6
\]

Trong khoảng \( x > 1 \), \( \sqrt{x + 1} \) luôn lớn hơn \( \sqrt{x - 1} \). Lưu ý rằng cả hai biểu thức sẽ rất lớn khi \( x \) lớn hơn 1.

Vậy ta sẽ kiểm tra các giá trị cụ thể (ví dụ \( x = 2, 3 \)) để có thêm thông tin về bất đẳng thức này.

Dễ thấy rằng giá trị của \( P \) sẽ luôn là âm và có thể không bao giờ đạt 6 cho \( x > 1 \).

**Kết luận:**
- \( P \) đã được rút gọn thành \( - (x + 1)(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 1}) \).
- \( P < 6 \) cho mọi \( x > 1 \).