Để giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{2}{x-2} + \frac{1}{y+1} = 3 \\
\frac{4}{x-2} - \frac{3}{y+1} = 1
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

**Bước 1:** Đặt \( a = \frac{1}{x-2} \) và \( b = \frac{1}{y+1} \).

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
2a + b = 3 \\
4a - 3b = 1
\end{cases}
\]

**Bước 2:** Giải hệ phương trình này.

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\[ b = 3 - 2a \]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
4a - 3(3 - 2a) = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
4a - 9 + 6a = 1 \\
10a - 9 = 1 \\
10a = 10 \\
a = 1
\]

Thay \( a = 1 \) vào phương trình \( b = 3 - 2a \):

\[
b = 3 - 2 \cdot 1 = 1
\]

**Bước 3:** Tìm \( x \) và \( y \).

Từ \( a = 1 \):

\[
\frac{1}{x-2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3
\]

Từ \( b = 1 \):

\[
\frac{1}{y+1} = 1 \Rightarrow y + 1 = 1 \Rightarrow y = 0
\]

**Kết quả:**

\[
(x, y) = (3, 0)
\]