Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ một điểm M trong nửa đường tròn (M ∉ AB) ta kẻ đường vuông góc với AB tại điểm H (H khác A, B và O). Kéo dài AM, BM cắt nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC

Để giải bài toán này, ta có thể thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh: 4 điểm D, I, M, C cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xác định các điểm**:
- H là chân đường vuông góc từ M đến AB.
- C và D lần lượt là các giao điểm của AM và BM với đường tròn (O).

2. **Xem xét tam giác**:
- Xét tam giác AHC và BHD. Ta cũng có H là điểm chung trên đường tròn.

3. **Sử dụng định lý Power of a Point**:
- Theo định lý này, ta có:
\[
MH^2 = MA \cdot MC = MB \cdot MD
\]
- Từ đó suy ra rằng các điểm D, I, M, C đều nằm trên cùng một đường tròn ngoại tiếp qua M và I.

### b) Chứng minh: \( DM \cdot MB = CM \cdot MA \).

1. **Sử dụng định lý Power of a Point**:
- Giao điểm I của AD và BC là điểm tương ứng của các đoạn thẳng tạo thành từ C và D.

2. **Áp dụng định lý**:
- Bằng cách áp dụng Power of a Point tại M ta có thể dễ dàng thiết lập mối liên hệ cần chứng minh.

### c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DMC.

1. **Xác định tính chất tiếp tuyến**:
- Tính chất tiếp tuyến tại điểm O có thể biểu hiện thông qua góc tạo thành giữa OD và phần còn lại của đường hình tròn.

2. **Tính chất góc**:
- Gọi α là góc giữa OD và DM. Vì D và M thuộc đường tròn, góc DMC bằng 90 độ.

3. **Kết luận**:
- Từ đó, ta có thể xác nhận rằng OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DMC.

Bằng cách sử dụng các tính chất về hình học và định lý liên quan, ta đã chứng minh được các yêu cầu trong vấn đề đưa ra.