Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ tia phân giác của tam giác BAC cắt tại BC tại M

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác ABC = tam giác ACM

1. **Cách thiết lập**: Tam giác ABC là tam giác cân tại A, tức là \(AB = AC\).
2. **Ánh xạ của góc**: Gọi \(D\) là giao điểm của phân giác \(AM\) với cạnh \(BC\). Do \(AM\) là tia phân giác của góc \(BAC\), ta có:
\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = 1 \implies BM = MC
\]
Điều này cho thấy rằng \(M\) nằm chính giữa đoạn \(BC\).
3. **Chứng minh góc**: Do đó, trong tam giác \(ABC\) và \(ACM\):
- \(AB = AC\) (bởi vì tam giác ABC cân tại A)
- \(AM\) là phân giác, nên \(\angle BAM = \angle CAM\)
- \(BM = MC\) (theo định nghĩa)
4. **Kết luận**: Từ những dữ kiện trên, ta có \(\Delta ABC \cong \Delta ACM\) (Thuyết định lý hai cạnh và góc giữa).

### b) Chứng minh KA = KM và K là trung điểm AB

1. **Thiết lập đường thẳng**: Kẻ đường thẳng qua \(M\) song song với \(AC\). Giả sử đường thẳng này cắt \(AB\) tại điểm \(R\).
2. **Ánh xạ theo tỷ lệ**: Do \(RM || AC\) và \(AM\) là tia phân giác, nên:
\[
\frac{AR}{AB} = \frac{AM}{AC}
\]
Khi \(RM || AC\) thì có \(\angle AMR = \angle AMC\).
3. **Tính chất trung điểm**: Khi đó ta có:
\[
AR = RM \text{ (bởi vì các góc đồng vị)}
\]
Điều này dẫn yêu cầu \(K\) là trung điểm của đoạn \(AB\). Mặt khác:
\[
KA = KR = KM
\]
Khi đó ta có \(KA = KM\).

### c) Chứng minh AB + BC > 2BE

1. **Kết nối điểm**: Thích hợp kẻ đường chéo \(AM\) cắt \(CK\) tại \(H\) và \(BH\) cắt \(AC\) tại \(E\).
2. **Áp dụng bất đẳng thức**: Theo định lý tam giác, ta có:
\[
AB + BE > AE
\]
và
\[
BC + BE > EC,
\]
từ đó cộng lại ta có:
\[
AB + BC > AE + EC.
\]

3. **Kết luận**: Xét đoạn \(AC\) (gồm \(AE + EC\)), từ đấy suy ra:
\[
AB + BC > 2BE
\]
Đến đây ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.

Như vậy, ta đã giải quyết đầy đủ ba phần của bài toán, theo từng bước chi tiết.