Cho tam giác ABC cân ở A có hai đường phân giác BD và CE cắt nhau ở I. Chưng minh tam giác IBC cân

Để chứng minh các tính chất liên quan đến tam giác ABC cân ở A với các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I, chúng ta sẽ tiến từng bước một.

### Bước 1: Chứng minh tam giác IBC là tam giác cân.
1. **Tam giác ABC cân** có nghĩa là \( AB = AC \).
2. **Đường phân giác** trong tam giác chia tam giác thành hai phần có tỉ số bằng nhau. Do đó, từ điểm A, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1 \Rightarrow BD = DC
\]
Tương tự, từ điểm A đến E, ta cũng có:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{AB} = 1 \Rightarrow AE = EB
\]

3. Từ đó, ta có \( IB = IC \) do I là giao điểm của hai đường phân giác, điều này chứng tỏ rằng tam giác IBC là tam giác cân.

### Bước 2: Chứng minh \( CD \parallel BE \).
1. Trong tam giác ABC, do \( AB = AC \) nên:
- Gọi \( \angle DAB \) là \( \alpha \) và \( \angle EAC \) là \( \alpha \) (vì BD và CE là các đường phân giác).
2. Vậy \( \angle ADB = \angle AEC = 90^\circ - \alpha \).
3. Ta có \( \angle DAB + \angle EAC = \alpha + \alpha = 2\alpha \).
4. Do đó, tổng các góc của tam giác IBC cho thấy rằng \( \angle DAB + \angle IBC + \angle EAC = 180^\circ \), suy ra:
\[
\angle BAI = \angle CAE \Rightarrow CD \parallel BE
\]

### Bước 3: Chứng minh \( AM \perp BE \) với M là trung điểm của BE.
1. Với M là trung điểm của BE, chúng ta cần chứng minh rằng AM vuông góc với BE.
2. Ta có tam giác IBC cân với \( IB = IC \), do đó, đường trung tuyến AM đi qua I và là trung điểm của BE sẽ vuông góc với BE.
3. Khi \( CD \parallel BE \), \( AM \) là đoạn trung tuyến trong tam giác ABC từ A sẽ tạo thành góc vuông với BE.

### Bước 4: Tính số đo góc ANC.
1. Kéo dài MA đến N, ta có tam giác AMN.
2. Vì AM vuông góc với BE, ta có:
\[
\angle AMB = 90^\circ \text{ và } \angle ANC = \angle ABC + \angle ACB
\]
3. Vẫn trong tam giác ABC cân, ta có \( \angle ABC = \angle ACB = x \) (với x là số đo của 2 góc này), và do đó \( ANC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).

Vậy số đo góc ANC là 90 độ.