Cho các số a, b, c, d thỏa mãn \(0 < a, b, c, d < 1\). Chứng minh rằng: \((1-a)(1-b)(1-c)(1-d) > 1-a-b-c-d.\)

Để chứng minh bất đẳng thức \((1-a)(1-b)(1-c)(1-d) > 1-a-b-c-d\) với \(0 < a, b, c, d < 1\), ta có thể sử dụng bất đẳng thức:

\[
(1-x) > 1 - x \quad \text{với } 0 < x < 1.
\]

Áp dụng điều này cho từng biến \(a, b, c, d\):

1. Ta có \((1-a) > 0\), \((1-b) > 0\), \((1-c) > 0\), và \((1-d) > 0\).

2. Do đó:
\((1-a)(1-b)(1-c)(1-d) > 0\).

Bây giờ ta xét cụ thể:

- Ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp với số lượng các biến, hoặc sử dụng phương pháp đánh giá trực tiếp như sau:

Ta có thể viết lại bất đẳng thức như sau:

\[
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) - (1-a-b-c-d) > 0
\]

Chúng ta có thể mở rộng vế trái:

\[
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) = 1 - (a+b+c+d) + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) - abcd
\]

Do đó, cần chứng minh:

\[
1 - (a+b+c+d) + (ab + ac + ad + bc + bd + cd) - abcd > 1 - a - b - c - d
\]

hay là:

\[
(ab + ac + ad + bc + bd + cd) - abcd > 0.
\]

Với các giá trị \(0 < a, b, c, d < 1\), tất cả các tích \(ab, ac, ad, bc, bd, cd\) đều là dương và nhỏ hơn \(1\).

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{ab + ac + ad + bc + bd + cd}{6} \geq \sqrt[6]{(abcd)^6},
\]

từ đó suy ra:

\[
ab + ac + ad + bc + bd + cd > 6 \sqrt{(abcd)} > abcd
\]

Vì vậy, ta có:

\[
(ab + ac + ad + bc + bd + cd) - abcd > 0
\]

Kết luận, ta đã chứng minh được rằng:

\[
(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) > 1-a-b-c-d.
\]

Vậy ta hoàn thành bài toán.