Cho 3 số a, b, c thỏa mãn \( 0 < a \leq b \leq c \). Chứng minh: \[ \begin{array}{c|c|c} a & b & c \\ \hline b & c & a \\ \end{array} \]

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}
\]

với \(0 < a \leq b \leq c\), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) \left( (b+c) + (c+a) + (a+b) \right) \geq (a + b + c)^2
\]

Tính được tổng các mẫu số:

\[
(b+c) + (c+a) + (a+b) = 2(a+b+c)
\]

Áp dụng vào bất đẳng thức:

\[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) (2(a+b+c)) \geq (a+b+c)^2
\]

Giải bất đẳng thức:

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2}
\]

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng:

\[
\frac{a+b+c}{2} \geq \frac{3}{2}
\]

Điều này sẽ đúng nếu:

\[
a + b + c \geq 3
\]

Tất cả mọi số \(a, b, c\) đều dương (theo điều kiện \(0 < a \leq b \leq c\)), nên để hoàn tất bài toán, ta sẽ coi \(a, b, c\) phải thỏa mãn \(a+b+c \geq 3\).

Vậy ta đến kết luận rằng:

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}
\]

Kết thúc chứng minh.