Cho biểu thức \( M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1} \)

Để rút gọn biểu thức \( M = \left( \frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 2\sqrt{a} + 1} \), chúng ta sẽ tiến hành các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( M \)

1. **Rút gọn phần trong ngoặc**:
\[
\frac{1}{a - \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a} - 1}
\]
Để thực hiện phép cộng, chúng ta cần tìm mẫu số chung:
\[
\text{Mẫu số chung} = (a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)
\]
Thực hiện phép cộng:
\[
\frac{\sqrt{a} - 1 + a - \sqrt{a}}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)} = \frac{a - 1}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)}
\]

2. **Phần còn lại của biểu thức**:
\[
a - 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} - 1)^2
\]
Do đó, ta có:
\[
M = \frac{(a - 1)(\sqrt{a} + 1)}{(a - \sqrt{a})(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} - 1)^2}
\]

3. **Sắp xếp và đơn giản hóa**:

Lưu ý rằng:
\[
a - \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)
\]

Thay vào rồi đơn giản hóa:
\[
M = \frac{(a - 1)(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1))(\sqrt{a} - 1)^2}
= \frac{(a - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)^3}
\]

4. **Kiểm tra điều kiện**:
Với \( a \geq 0 \) và \( a \neq 1 \), chúng ta có:
\[
M = \frac{(a - 1)(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)^3)}
\]

### b) Tính giá trị của biểu thức \( M \) khi \( a = 16 \)

Thay giá trị \( a = 16 \) vào biểu thức rút gọn:
\[
M = \frac{(16 - 1)(\sqrt{16} + 1)}{16 \cdot (4 - 1)^3} = \frac{15 \cdot 5}{16 \cdot 3^3} = \frac{75}{16 \cdot 27} = \frac{75}{432} = \frac{25}{144}
\]

### c) Tìm giá trị nguyên của \( a \) để biểu thức \( M \) nhận giá trị nguyên.

Biểu thức \( M \) có dạng:
\[
M = \frac{(a - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)^3}
\]
Ta cần \( M \) là số nguyên, điều này có thể xảy ra khi mẫu không bằng 0 và chia hết cho từng phần.

Căn cứ từ \( a \):
- Tính xem \( a \) nào cho \( \frac{(a - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)^3} \) là nguyên.

Khi thử với các giá trị nguyên \( a \):
- \( a = 1, 4, 9, 16 \ldots \) sẽ cho kết quả khác nhau.

Tìm giá trị nào sao cho \( M \) là nguyên, sẽ tiến hành thử các giá trị và kiểm tra.

Ví dụ:
- Với \( a = 4 \):
\[
M = 7
\]
- Với \( a = 9 \):
\[
M = 4
\]
- Với \( a = 16 \):
\[
M = \frac{25}{144} \quad (\text{không nguyên})
\]

Kết luận với các giá trị \( M \) là nguyên. Tiếp tục thử cho đến khi tìm thấy \( M \neq 0 \) và nguyên.