Cho đường tròn (O;R), bán kính OA, dây CD là trung trực của OA. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### A) Chứng minh tam giác OAC là tam giác đều.

Gọi OA = R (bán kính của đường tròn).
- Dây CD là trung trực của OA, nên CD vuông góc với OA và cắt OA tại trung điểm M của OA. Tuy nhiên, M không ảnh hưởng đến việc chứng minh tam giác OAC là đều.
- C là một điểm trên đường tròn (O), bởi vậy OC = R.
- Hơn nữa, OA = R.
- Do đó ta có:
\[
OA = OC = R,
\]
tức là ba cạnh của tam giác OAC đều bằng nhau.
- Từ đó, ta kết luận rằng tam giác OAC là tam giác đều.

### B) Chứng minh tứ giác OCAD là hình thoi.

- Ta đã biết rằng OA = OC = R.
- Dây CD là trung trực của OA, nên cả CD và OA có cùng chiều dài từ O tới điểm giữa của CD là M.
- Cũng giống như trên, do CD là tiếp tuyến tại C, ta có AC vuông góc với CD tại C.
- Ta cũng có OD = OC = R nhưng cũng cho rằng OD song song với CA (CD vuông góc với OA) và có chiều dài bằng nhau.
- Suy ra, tứ giác OCAD là hình thoi, vì 2 đôi cạnh đối song song và bằng nhau (OA = OC, AD = CD).

### C) Tính CI theo R.

Từ tính chất tiếp tuyến, đoạn CI sẽ bằng OC (bán kính R) nhân với \(\sqrt{3}\):
- Ta biết rằng, tại điểm C, đoạn OC vuông góc với tiếp tuyến.
- Vì vậy ta có:
\[
CI = OC \sin 60^\circ = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

### D) Tính số đo cung nhỏ CD và diện tích hình quạt OCD theo R.

- Số đo cung CD:
- Trong tam giác đều OAC, mỗi góc có số đo là \(60^\circ\), do đó cung CD cũng có số đo \(60^\circ\).

- Diện tích hình quạt OCD:
- Diện tích hình quạt là 1/6 tổng diện tích hình tròn có bán kính R.
- Công thức tính diện tích hình tròn:
\[
S = \pi R^2.
\]
- Diện tích hình quạt là:
\[
S_{OCD} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi R^2.
\]

Tóm lại:
- A) Tam giác OAC là tam giác đều.
- B) Tứ giác OCAD là hình thoi.
- C) \( CI = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- D) Số đo cung nhỏ CD là \( 60^\circ \) và diện tích hình quạt OCD là \( \frac{1}{6} \pi R^2 \).