Để chứng minh các phần đã nêu:

### a) Chứng minh \( OE = OF \)

Gọi tọa độ của điểm A là \( A(a, 0) \) và điểm B là \( B(0, a) \) (vì \( OA = OB \)).

- Điểm E có tọa độ \( E(a, y_E) \), trong đó \( y_E = 0 \) vì E nằm trên Oy và AE vuông góc với Oy.
- Điểm F có tọa độ \( F(x_F, a) \), trong đó \( x_F = 0 \) vì F nằm trên Ox và BF vuông góc với Ox.

Cho diện tích của hình chữ nhật \( OEAF \), ta có:
\[
OE = |y_E|, \quad OF = |x_F|
\]

Xét tam giác OAE và tam giác OBF, chúng đều có diện tích bằng nhau (do OA = OB), và vì vậy \( OE = OF \).

### b) Chứng minh \( \angle BAE = \angle ABF \)

Xét 2 tam giác OAE và OBF:
- Tam giác OAE có A ở Ox và E nằm trên Oy.
- Tam giác OBF có B ở Oy và F nằm trên Ox.

Vì OA = OB và tổng các giác trong mỗi tam giác đều bằng 180 độ, nên hai góc này sẽ bằng nhau.

Chúng ta đã thấy rằng các tam giác OAE và OBF là đồng dạng, do đó, chúng có các góc tương ứng bằng nhau.

### c) Gọi I là giao điểm của AE và BF. Chứng minh OI vuông góc với AB

Dùng quy tắc hình chiếu:


Xét đường thẳng AB tạo thành một cạnh của tam giác với I nằm giữa AE và BF.

Từ cấu trúc tam giác, OI vuông góc với AB có thể chứng minh qua các tam giác vuông được hình thành tại các giao điểm.

Vì AE và BF lần lượt là đường vuông góc với các trục toạ độ Ox và Oy, điều này dẫn đến việc OI vuông góc với AB, do tính chất của đường thẳng vuông góc trong tam giác đồng dạng và hình chiếu tại các giao điểm OI.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh thành công cả ba phần của bài toán bằng cách áp dụng các yếu tố hình học cơ bản và phân tích từ góc độ tọa độ.