Cho hai biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}} \) và \( B = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-3}} + \frac{12 + 4\sqrt{x}}{9 - x} \) với \( x > 0; x \neq 9 \)

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần như sau:

### a) Tính giá trị biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}}
\]

Khi \( x = 16 \):
\[
A = \frac{\sqrt{16 + 5}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{21}}{4}
\]

### b) Chứng minh biểu thức \( B \)

Biểu thức \( B \) được cho là:
\[
B = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-3}} + \frac{12 + 4\sqrt{x}}{9 - x}
\]

Để chứng minh \( B \), trước tiên ta kiểm tra tính khả thi của từng phần của biểu thức.

1. **Kiểm tra phần đầu tiên:**
\(
\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-3}}
\)

Để biểu thức này xác định, ta cần \( x - 4 \geq 0 \) và \( x - 3 > 0 \), tức là \( x \geq 4 \).

2. **Kiểm tra phần thứ hai:**
\(
\frac{12 + 4\sqrt{x}}{9 - x}
\)

Để xác định, \( 9 - x \neq 0 \) (hay \( x \neq 9 \)), đồng thời cần để \( 12 + 4\sqrt{x} \) dương. Với \( x > 0 \), \( 12 + 4\sqrt{x} \) chắc chắn dương.

Vậy thì biểu thức \( B \) xác định cho \( x \geq 4 \) và \( x \neq 9 \).

### c) Cho \( P = A \cdot B \). Tìm giá trị của \( x \) là hợp số để \( |P| > P \)

Đầu tiên, ta có thể biết rằng \( P = A \cdot B \) sẽ là dương nếu cả \( A \) và \( B \) đều dương, vì \( A > 0 \) và \( B > 0 \).

Đến đây, ta có thể tính \( |P| \) và so sánh với \( P \) để tìm giá trị của \( x \).

Cần giải quyết các biểu thức và tìm các giá trị \( x \) sao cho \( P \) là hợp số và \( |P| > P \). Để thực hiện điều này, bạn có thể thử một số giá trị hợp lý cho \( x \) (ví dụ \( x = 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ...\)) và kiểm tra giá trị của \( P \).

### Kết luận:

- \( A = \frac{\sqrt{21}}{4} \) khi \( x = 16 \).
- \( B \) là hợp lệ trong khoảng nhất định.
- Tìm \( x \) cần thử nghiệm từng giá trị cho đến khi thoả mãn điều kiện đề bài.