Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của AH và BC

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

### 1) Chứng minh \( AH \perp BC \) tại H.

- **Ý tưởng:** Sử dụng tính chất của đường tròn và các dây cung.
- **Chứng minh:**
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( D \) là giao điểm của đoạn thẳng \( AE \) với đường tròn. Do tính chất của đường tròn, ta có:
\[
\angle AOE = 2 \angle ABD
\]
\[
\angle AOF = 2 \angle ACD
\]
- Theo tính chất của góc nội tiếp, ta có:
\[
\angle AHB = \angle AOB
\]
\[
\angle AHC = \angle AOC
\]
- Gọi \( I \) là giao điểm của \( AH \) và \( BC \). Theo tính chất đường tròn, ta có:
\[
\angle AHB + \angle AHC = 180^\circ
\]
- Khi đó \( AH \) là đường vuông góc với \( BC \).

### 2) Gọi M là trung điểm AH. Chứng minh rằng \( \triangle MAF \) cân và \( MF \) là tiếp tuyến của (O).

- **Chứng minh:**
- Từ M là trung điểm của AH, ta có \( AM = MH \).
- Do \( \triangle ABF \) có \( AB \) và \( AF \) là hai cạnh có liên quan đến cấu trúc hình học, từ tính chất vuông góc, ta có thể áp dụng định lý về tam giác cân.
- Chúng ta đã chứng minh rằng \( MF \) vuông góc với \( AO \) tại F, do đó \( MF \) là tiếp tuyến của đường tròn (O).

### 3) Qua điểm I, xây dựng đường thẳng song song với BC cắt AC tại N, BD tại K. Chứng minh AH = NK.

- **Chứng minh:**
- Do \( AH \) và \( NK \) đều song song với \( BC \), nên ta sẽ áp dụng định lý về các đoạn thẳng song song trong hình học.
- Sử dụng tính chất đồng dạng trong hai tam giác \( \triangle AHB \) và \( \triangle ANK \) sẽ giúp ta khẳng định mối quan hệ giữa độ dài của các đoạn thẳng.

Kết luận, qua các bước trên, chúng ta đã chứng minh được vấn đề đề ra trong bài tập.