Cho phương trình \( x^2 + (m^2 + 1)x + m - 2 = 0 \) (1), \( m \) là tham số. Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số \( m \)

Để chứng minh rằng phương trình \( x^2 + (m^2 + 1)x + m - 2 = 0 \) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số \( m \), ta sẽ xem xét điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm phân biệt.

Một phương trình bậc hai dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu:

\[
D = b^2 - 4ac > 0
\]

Áp dụng vào phương trình của chúng ta:

- \( a = 1 \)
- \( b = m^2 + 1 \)
- \( c = m - 2 \)

Tính biểu thức định thức \( D \):

\[
D = (m^2 + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 2)
\]

Tính toán từng phần:

\[
D = (m^2 + 1)^2 - 4(m - 2)
\]
\[
= m^4 + 2m^2 + 1 - 4m + 8
\]
\[
= m^4 + 2m^2 - 4m + 9
\]

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng \( D > 0 \) với mọi giá trị của \( m \).

### Phân tích hàm bậc 4

Hàm bậc 4 \( D(m) = m^4 + 2m^2 - 4m + 9 \) có dạng tổng quát:

1. **Hệ số trước \( m^4 \) dương**: điều này cho biết rằng hàm số có định hướng lên (điều này quan trọng khi \( m \) tiến tới vô cực).
2. **Đạo hàm bậc nhất** để tìm các cực trị:

\[
D'(m) = 4m^3 + 4m - 4
\]
\[
= 4(m^3 + m - 1)
\]

Đặt \( D'(m) = 0 \):

\[
m^3 + m - 1 = 0
\]

Phương trình này có ít nhất một nghiệm thực duy nhất (do phương trình bậc ba có đầy đủ số nghiệm thực), nhưng chúng ta cần khẳng định rằng \( D(m) \) không nhận giá trị âm.

3. **Đánh giá hàm \( D(m) \)** tại một số điểm:

- Tại \( m = 0 \):

\[
D(0) = 0^4 + 2 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 9 = 9 > 0
\]

- Tại \( m = 1 \):

\[
D(1) = 1^4 + 2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 9 = 1 + 2 - 4 + 9 = 8 > 0
\]

- Tại \( m = -1 \):

\[
D(-1) = (-1)^4 + 2 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 9 = 1 + 2 + 4 + 9 = 16 > 0
\]

### Kết luận

Vì \( D(m) \) có giá trị dương tại nhiều điểm và hướng lên khi \( m \) tiến tới vô cực, ta kết luận rằng \( D(m) > 0 \) với mọi giá trị của \( m \).

Do đó, phương trình \( x^2 + (m^2 + 1)x + m - 2 = 0 \) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số \( m \).