Để chứng minh hai yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng định lý Thales.

**1) Chứng minh \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{CE} \):**

- Theo đề bài, ta có:
- \( AD = 1 \) cm
- \( BD = 3 \) cm
- \( AE = 2 \) cm
- \( CE = 6 \) cm

- Tính tỉ số:
\[
\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}
\]
\[
\frac{AE}{CE} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
\]

- Do đó, ta có:
\[
\frac{AD}{BD} = \frac{AE}{CE}
\]

- Theo định lý Thales, khi hai tỉ số bằng nhau, thì tuyến đường nối điểm D và E song song với cạnh BC.

**2) Chứng minh DE // BC:**

- Theo kết luận từ phần 1, vì \( \frac{AD}{BD} = \frac{AE}{CE} \), theo định lý Thales, ta suy ra rằng DE // BC.

Vậy, ta đã hoàn thành bài toán với các yêu cầu được chứng minh.