Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AMIN là hình chữ nhật.

1. **Xác định các góc:**
- IM ⊥ AB và IN ⊥ AC.
- Từ điều này, ta có góc AMI = 90° và góc ANI = 90°.

2. **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau:**
- Ta biết rằng I là trung điểm của BC, nên IB = IC.
- Do AB < AC, mà I là trung điểm, ta có IM = IN (cùng khoảng cách từ I đến AB và AC).
- Do đó, ta có tứ giác AMIN có các góc vuông và hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, nên AMIN là hình chữ nhật.

### b) Trên tia đối của tia NI lấy điểm K sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng IK.

1. **Thiết lập điểm K:**
- Vì N là trung điểm của IK, ta có NK = NI (và vì IN ⊥ AC, góc KNI = 90°).

2. **Chứng minh tia BN cắt KC tại P. Gọi Q là trung điểm PC.**
- Để chứng minh, ta cần chứng minh rằng BN và KC cắt nhau. Ta có:
- BN và KC đều nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC, và vì B và C là hai đỉnh của tam giác, hai tia này sẽ cắt nhau tại một điểm P.

3. **Chứng minh NP là đường trung bình của tam giác KIQ.**
- Vì P là trung điểm PC, NP sẽ là đường trung bình trong tam giác KIQ.

### c) Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).

1. **Chứng minh AH ⊥ BC:**
- Đường cao AH từ A đến BC sẽ tạo ra góc vuông với các cạnh của BC.

2. **Chứng minh tỉ số DB/DC = HB/HC:**
- Xét các tam giác DBH và DCH, vì AH là đường cao, ta có:
- Tỉ số của các đoạn thẳng DB và DC sẽ bằng tỉ số của HB và HC.

### Kết luận

- Tứ giác AMIN là hình chữ nhật.
- Các phần b) và c) đã chứng minh được các tính chất như yêu cầu.

Như vậy, ta đã hoàn thành bài toán!