Để tìm điều kiện cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có diện tích hình chữ nhật \( ADHE \) lớn nhất, trước tiên ta cần xác định các yếu tố liên quan đến các cạnh của tam giác.

Giả sử:
- \( AB = a \)
- \( AC = b \)
- \( BC = c = 6 \) cm (đã cho)

Tam giác vuông \( ABC \) thỏa mãn định lý Pythagore, tức là:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Diện tích hình chữ nhật \( ADHE \) sẽ được tính bằng:

\[
S = AD \times AE
\]

Ta có thể xác định chiều cao \( AH \) từ \( A \) xuống cạnh \( BC \):

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{a \cdot b}{6}
\]

Hình chiếu \( D \) và \( E \) trên \( AB \) và \( AC \) sẽ thỏa mãn:

\[
AD = AH \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b \cdot b}{6c} = \frac{a \cdot b^2}{36}
\]

\[
AE = AH \cdot \frac{a}{c} = \frac{a \cdot b \cdot a}{6c} = \frac{a^2 \cdot b}{36}
\]

Do đó, diện tích hình chữ nhật \( ADHE \) là:

\[
S = AD \times AE = \left(\frac{a \cdot b^2}{36}\right) \times \left(\frac{a^2 \cdot b}{36}\right) = \frac{a^3 \cdot b^3}{1296}
\]

Để tối đa hóa \( S \), ta cần tìm điều kiện nào cho tam giác \( ABC \) sao cho \( a = b \). Khi đó, tam giác biến thành tam giác vuông cân.

Dựa vào định lý Pythagore:

\[
2a^2 = 6^2 \implies a^2 = 18 \implies a = b = 3\sqrt{2}
\]

Diện tích lớn nhất khi \( AB = AC = 3\sqrt{2} \):

\[
AH = \frac{(3\sqrt{2})(3\sqrt{2})}{6} = 3
\]

Vậy diện tích hình chữ nhật là:

\[
S = \left(\frac{(3\sqrt{2})^2(3\sqrt{2})^2}{1296}\right) = \frac{(18)(18)}{1296} = 0.25
\]

Tổng kết lại, điều kiện để hình chữ nhật \( ADHE \) có diện tích lớn nhất là tam giác \( ABC \) vuông cân. Diện tích lớn nhất là \( 0.25 \, \text{cm}^2 \).